数学分析(I)定理理解
命题的否定，逆命题，逆否命题
复杂点的我还真不会，挂着找个时间学一下。
用定义证明收敛
就是要说明在某个 $N$ 之后的所有 $n$ 满足一个形如 $f(n) < C\epsilon$ 的不等式恒成立。
所以就想办法找：
- 直接用这个形式暴力求解出 $n > g(\epsilon)$ 的形式。
- 用其它的条件放缩，比较常见的是如果极限内的式子为一个 $\sum$ 的样子；从一个有限项之后拆开，前面为常数，后面可以用条件放缩（常用三角不等式）。
- 直接通过一些比较将原式放缩为一个更好求的式子，不过注意约定 $N$ 的范围。
用定义证明数列为无穷大量
就是要说明对于任意一个数，一定能找到某项之后所有项都大于它。
其实道理差不多。
现在任取一个 $G$，我们当它是固定的。
然后根据 $x_n > G$ 解出 $n > g(G)$ 的范围。
我们只需要取 $N = g(G)$ 就可以了。
数列极限的唯一性
首先设存在两个这样的极限 $A, B$。
然后分开用定义写，一种比较常见的方式就是证明 $|A - B| = 0$。
于是我们尝试从定义里 $|x_n - A|, |x_n - B|$ 的不等式来导出 $A - B$。
对于 $|A + B|$ 形式一般都用三角不等式，但是这里是 $|A - B|$。
所以考虑插项：
$|A - B| = |(x_n - B) - (x_n - A)| = |(A - x_n) + (x_n - B)| \le |A - x_n| + |x_n - B| = |x_n - A| + |x_n - B| < 2\epsilon$。
这里用绝对值的性质，拆项之后可以转化为两项之和。
换句话说 $|A - B|$ 的距离可以小于任意一个 $\eta > 0$，那么就证明了 $A - B = 0$。
收敛数列的有界性
希望证明有界就是想要证明形如 $\forall n > N, |x_n| < M$ 的形式。
为什么只考虑无限项？因为有限项既然是有限的那我们可以直接列出来，在最后取 $M$ 的时候让 $M$ 和它们取一个 $\max$ 就可以了。
然后对于后面的这些项，不妨假设 $N$ 固定，因为我们只需要证明 $M$ 的存在性，而根据收敛的定义 $N$ 一定存在，我们对任意一个 $N$ 找到 $M$ 就行。
又因为 $\epsilon$ 也是任意的，我们需要一个常数而不是任意量，直接随便取一个比较特殊的比如 $\epsilon = 1$，然后得到一个 $M$ 的取值就完了。
数列极限的保序性 or 保号性
核心就是在 $|f(x) - A| < \epsilon; |g(x) - B| < \epsilon$ 两个不等式拆开绝对值之后各取两边。
由于 $\epsilon$ 有任意性，取 $\epsilon = \dfrac{A - B}{2}$ 即可建立桥梁直接比较。
关于那个保序性推论的话，取 $g(x) = 0$ 即可得到。
两边夹法则
拆开绝对值各取一边再合并即可，非常简单。
数列极限的四则运算
- 线性组合：直接在定义上拆就可以
- 乘法：$|x_ny_n - ab| = |x_ny_n - ay_n + ay_n - ab| \le |y_n||x_n - a| + |a||y_n - b|$。通过加入一项构造出两个极限的条件，再通过收敛数列必有界可以证明。
- 除法：把乘法看成除法，核心就是证明 $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{y_n} = \dfrac{1}{b}$，这个只需要利用一下保序性推论就行。
Stolz 定理
核心思想是通过累加法凑出 $x_n, y_n$ 的形式。
直接做的话那个 $A$（极限）的系数不太好做，不妨假设 $A = 0$。
累加只能加到 $\max\{N, M\}$ 的位置，$y_n$ 无穷大量，取 $G = 1$（拿出不是负数的部分）。
两边直接除 $y_n$，移项就能证明。
做出来之后 $A \not=0$ 的直接套用 $A = 0$ 的带进去做变量替换。
对于 $A = \infty$ 的情况，倒一下之后就可以变成 $A = 0$ 的情况。
然后限制条件只需要令 $G = 1$ 就能导出。
数列求和后求极限
比如那两个特殊的极限，做法基本上需要在极限定义 $N$ 那个位置拆两段分析。
确界原理
先承认它是一个公理，等会闭环的时候再考虑这个问题。
换句话说我们承认如果存在上界必有上确界。
单调有界原理
考虑单调递增有上界，反过来同理即可。
由于数列有界，根据确界原理，一定存在其上确界 $M$。
要证明 $\forall \epsilon > 0, \exists N \text{ s.t. } \forall n > N : |x_n - L| < \epsilon$。
因为 $|x_n| < L$，凑个 $\epsilon$ 出来dou一下就行
就是直接从 $x_N$ 出发利用单调性导出。
闭区间套定理
用单调有界原理，$a_n, b_n$ 两个数列分别存在极限。
说明极限相等就行。
核心：$b_n = a_n - (a_n - b_n)$，因为 $(a_n - b_n) \to 0$ 所以存在 $\xi$。
对于唯一性，反证，假设还存在一个 $\eta$，显然 $|\xi - \eta| \le b_n - a_n \to 0$ 所以不存在 $\eta$。
使用：一般构造闭区间套的目的都是构造出一个或者多个的数列用于证明。
注：如果说证明了 $A = B = \xi$，那么不必再次说明唯一性，用极限的唯一性就行。
实数集不可数
三等分用闭区间套取中间。
Bolzano-Weierstrass 定理
很简单，使用闭区间套，每次二等分，选取一个包含无穷元素的区间。
在每个区间里随便选一项，然后在区间内扣掉他之后再递归下去。
当然需要满足子列下标性质，这个通过交换可以做到。
于是 $a_k \le x_k \le b_k$，所以 $x_{n_k} \to \xi$
注：闭区间套用的时候常常结合两边夹法则
Cauchy 收敛原理
由于是充要条件所以两边都要证明一下
由收敛推过去比较简单，就是从一个变量条件变两个变量。
通过极限 $A$ 做一个空拆的中转就行：$|x_n - x_m| = |(x_n - A) - (x_m - A)|$，然后用三角不等式。
推回来稍微麻烦一点，思路是：
先证明 $\{x_n\}$ 有界，进而得到一个收敛子列 $\{x_{n_k}\}$，再证明 $(x_n - x_{n_k}) \to 0$。
有界证明部分的思路比较经典，取一个点，前面的有限项都是常数，后面的可以直接代替（随便用一个常数）。
对于收敛子列部分，利用 Cauchy 收敛这个条件能证明它们的差小于任意 $\epsilon > 0$。
然后空拆：$x_n - a = (x_n - x_{n_k}) + (x_{n_k} - a)$
这里就很好做了。
压缩映射原理
很自然的想到使用 Cauchy 来证明。
但想要使用它还需要做一些操作。
空拆：$|x_{n + 1} - x_{1}| = |(x_{n + 1} - x_n) + (x_n - x_{n - 1}) + \cdots + (x_2 - x_1) + (x_1 - 0)|$
三角不等式拆开之后可以利用压缩映射的条件来全部转化为 $x_n - x_{n + 1}$
然后做个差就是 $|x_m - x_n|$ 了。
于是能写出一个等比数列求和，把求和的式子利用 $r \in (0, 1)$ 放缩到一个常数就能使用 Cauchy 收敛原理了。
有限开覆盖定理
用 Cauchy 的我稍微有点记不住。
用闭区间套的话就是反证，二分，每次取一个不能被有限个覆盖的区间。
最后有一个 $\xi$，由于一族开区间能覆盖 $I$，那么 $\xi$ 至少被一个开区间覆盖，所以 $\exists$ 它的一个小邻域也能被覆盖，这就矛盾了。
闭环
用有限开覆盖定理证明确界原理
稠密性
如果 $A, B \subset \mathbb R$，且 $\forall x < y \in B, \exists a \in A \text{ s.t. } x < a < y$ 则称 $A$ 在 B 中稠密。
有理数在 $\mathbb R$ 上稠密：
$\forall x, y \in \mathbb R, \exists n \in \mathbb Z\text{ s.t. } n(y - x) > 1 \Rightarrow ny - nx > 1$
考虑 $nx < m \le nx + 1$，一定有这样的整数 $m$，两边同时除以 $n$：
$x \le \dfrac{m}{n} \le x + \dfrac{1}{n}$。
$x + \dfrac{1}{n} < y \iff ny - nx > 1$
所以 $\exists m, n \text{ s.t. } x < \dfrac{m}{n} < y$。
无理数稠密：
根据有理数的稠密性，取 $a \in \mathbb Q$
那么 $x + \sqrt 2 < a < y + \sqrt 2$。
就有 $x < a - \sqrt2 < y$，由于有理数集减法封闭所以 $a -\sqrt 2 \not\in \mathbb Q$。
sinx/x
一般认为这个极限 = 1 是公理。
Heine 定理
还是要证两个方向
正着直接推
反过来直接反证，这个反证要写出 $f(x) \not\to A$ 的这个命题
然后取 $\delta = 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \cdots$
e
对于变式往往需要考虑倒一倒
函数极限的 Cauchy 收敛原理
最主要还是把数列和函数连接起来。
正推是简单的，直接定义写两遍合起来就行。
反推就需要用 Heine 定理了。
总之是先说明拉出来的数列 $f(x_n), f(y_n)$ 分别收敛，然后说明极限相等，再用 Heine 定理就行。
证明初等函数的连续性
其实就是用 $\epsilon-\delta$ 去证明极限。
连续函数四则运算
知道就行了，没什么要注意的，证明直接写定义。
连续函数复合，反函数
反函数这里要注意一下原函数一定要严格单调连续
反函数才是严格单调连续的。
要求单调主要是用定义写出来，用 $x = g(y), y = g(x)$ 替换之后没法直接由 $\Leftarrow$ 得到 $\Rightarrow$，所以需要个条件来得到 $y$ 的限制。
复合函数用定义凑。
Riemann 函数的连续性
有理点间断：根据无理数在实数域上稠密可以找到 $\{x_n\} \to x_0$，取极限后利用连续性和 $\zeta(x_0) \not= 0$ 说明矛盾。
无理点连续：Riemann 函数是周期为 $1$ 的函数，考虑 $[0, 1]$ 上的点就行。
核心是说明 $\forall \epsilon, \zeta(x) \ge \epsilon$ 的 $x$ 有限（因为函数值 $\le 1$），然后取一个不含这些 $x$ 的 $x_0$ 的小邻域
小邻域内 $\zeta(x) \le \epsilon \Rightarrow \zeta(x) - \zeta(x_0) \le \epsilon$ 这就是连续的定义。
Cantor 定理
证法和证明判定一致连续的法则是差不多的。
反证，假设不一致连续，取 $\delta = 1, \dfrac{1}{2}, \cdots \dfrac{1}{n}$。
用不一致连续的那个判定条件给出 $x_n, y_n$ 的限制。
找到两个收敛子列，说明其极限相等，从而推出 $|f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| = 0 < \epsilon$ 的矛盾。
Cantor 定理扩展
两边都要证明，一边考虑直接延拓，另一边用函数极限 Cauchy 收敛原理就能说明。
对于 $[M, +\infty]$ 这种就是直接拆两边考虑，记得考虑跨越的情况。
闭区间上连续函数有界性
这个感觉乍一看会很没办法，所以还是反证。
用闭区间套一直取无界的区间，取到 $\xi$ 之后由于连续可以写出性质得出 $f(x)$ 有上界。
闭区间上连续函数最值性
直接确界原理就行了。
零点存在定理
闭区间套定理，一直二分到那个零点就可以。
闭区间上连续函数介值性
其实我觉得介值性反而是更应该先证明的。
就如果 $=m, M$ 就是零点存在定理。
那么 $c \in (m, M)$，构造 $F(x) = f(x) - c$ 即可。
一些非常容易搞混的命题
关于对命题的否定的使用
设数列 $\{x_n\}$ 无界但不是无穷大量。
证明必存在两个子列使得一个收敛一个为无穷大量。
无界的数列有为无穷大量的子列只需要一直取 $M$ 然后说明总有大于 $M$ 的得到 $x_{n_k} > k$ 的不等式两边 $k$ 趋近无穷就行。
但收敛子列怎么办？一个想法就是证明存在一个有界子列，于是有界子列必定有收敛子列。
怎么找到界呢？
一个想法是说明对于一个 $M$ 可以找到无穷多个小于它的项。
无穷大量等价于：$\forall G > 0, \exists N, \text{ s.t. } \forall n > N, |x_n| > G$。
所以不是无穷大量的意思是 $\exists M > 0, \forall N, \text{ s.t. } \exists n > N, |x_n| \le M$。
我们来理解一下这句话，任意的 $N$ 都会有至少一个绝对值不大于 $M$ 的。那就是有无穷多个。
于是就能说明其有界性。
Fermat 定理
比如说是极大值点，那么直接根据极大值点写出邻域附近的条件。
然后利用它写左右导数，发现都等于零，这是导数等于零的充要条件。
Roll 中值定理
注：接下来几个中值定理默认开区间上连续闭区间上可导
这个直接根据闭区间上连续函数的性质，然后用 Fermat 定理就可以了。
当然还需要说明一下常值函数的可能性。
Lagrange 中值定理
其实是 Roll 的更一般情况。
想要转成 Lagrange 就要把这个弄平坦，直接写出要证明的式子构造线性函数就行。
相等的话，在构造的函数基础上乘上 x 就可以了。
导函数有界 -> 一致连续
直接用 Lagrange 写出来之后就是一致连续的形式。
Cauchy 中值定理
还是直接写了之后尝试转成 Lagrange 或者 Roll 定理。
但这个比较简单一点，两个写出来之后直接发现就是相等的。
导函数不存在第一类不连续点
第一类不连续点是左右极限都存在且不相等。
对于一个点 $x_0$，直接写出左右导数，然后用 Lagrange 中值定理变成 $f^{\prime}(\xi)$，可以发现经过简单的变换它们分别变成了导数的左极限和右极限，存在且等于这点导数。
如果不存在那么一定是第二类了。
Darboux 定理（导函数介值性）
直接构造 $F(x) = f(x) - cx$ 就行。
需要注意的是端点是单侧导数，（似乎不能直接零点存在定理，要用下 Fermat）
证明 Taylor 定理
直接减一下证明余项是那个玩意儿就行。